Номер 725, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 725, страница 187.

Условие.

725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $a$ и $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, боковую сторону, перпендикулярную основаниям (высоту), как $h$, а другую (наклонную) боковую сторону как $c$. Радиус вписанной окружности обозначим как $r$.

Поскольку окружность вписана в трапецию, она касается обоих оснований. Расстояние между параллельными основаниями, которое равно высоте трапеции $h$, является диаметром вписанной окружности. Таким образом, справедливо соотношение:$h = 2r$

Одним из ключевых свойств любого описанного четырехугольника (то есть четырехугольника, в который можно вписать окружность) является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается в виде:$a + b = h + c$

Теперь проведем из вершины тупого угла высоту к большему основанию. Эта высота отсечет от трапеции прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности длин оснований $|a-b|$. Гипотенузой будет наклонная боковая сторона $c$. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:$c^2 = h^2 + (a-b)^2$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения $h$:1. $a + b = h + c$2. $c^2 = h^2 + (a-b)^2$

Из первого уравнения выразим $c$:$c = a + b - h$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:$(a + b - h)^2 = h^2 + (a-b)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a-b)^2$$a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($a^2$, $b^2$, $h^2$) в обеих частях равенства:$2ab - 2h(a+b) = -2ab$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $h$:$4ab = 2h(a+b)$$h = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$

Так как радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты $h$:$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2ab}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $r = \frac{ab}{a+b}$