Номер 721, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 721, страница 186.

Условие.

721 Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольник со сторонами, длины которых равны $a$ и $b$. По условию, в этот прямоугольник можно вписать окружность. Это означает, что существует окружность, которая касается всех четырех сторон прямоугольника изнутри.

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Диаметр окружности, соответственно, равен $2r$.

Рассмотрим пару параллельных сторон прямоугольника, длина которых равна $a$. Расстояние между этими сторонами равно длине смежной стороны, то есть $b$. Поскольку вписанная окружность касается обеих этих параллельных сторон, расстояние между точками касания, лежащими на этих сторонах, равно диаметру окружности и одновременно равно расстоянию между сторонами. Следовательно, мы можем записать равенство: $b = 2r$.

Теперь рассмотрим другую пару параллельных сторон прямоугольника, длина которых равна $b$. Расстояние между этими сторонами равно длине смежной стороны, то есть $a$. Так как окружность касается и этих двух сторон, расстояние между ними также должно быть равно диаметру окружности. Отсюда получаем второе равенство: $a = 2r$.

Сопоставляя два полученных равенства, $a = 2r$ и $b = 2r$, мы приходим к выводу, что $a = b$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, по определению является квадратом. Таким образом, утверждение доказано.

В качестве альтернативного доказательства можно использовать свойство описанного четырехугольника (четырехугольника, в который можно вписать окружность), которое гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это свойство записывается как $a + a = b + b$, что упрощается до $2a = 2b$ и, следовательно, $a = b$.

Ответ: Если в прямоугольник вписана окружность, то её диаметр должен быть равен расстоянию между каждой парой параллельных сторон. Расстояния между параллельными сторонами прямоугольника — это длины его смежных сторон, пусть они равны $a$ и $b$. Следовательно, диаметр окружности равен $a$ и в то же время равен $b$. Отсюда следует, что $a=b$, а прямоугольник с равными сторонами является квадратом.