Номер 715, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 715, страница 186.

Условие.

715 Диаметр $AA_1$ окружности перпендикулярен к хорде $BB_1$. Докажите, что градусные меры дуг $AB$ и $AB_1$, меньших полуокружности, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $M$ — точка пересечения диаметра $AA_1$ и хорды $BB_1$.

По условию задачи, диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$, из чего следует, что $\angle AMB = \angle AMB_1 = 90^\circ$.

Известно, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $BB_1$, то есть $BM = B_1M$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle AMB_1$. У них:

• Катет $AM$ — общий.
• Катет $BM$ равен катету $B_1M$.

Следовательно, $\triangle AMB \cong \triangle AMB_1$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = AB_1$.

В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Так как хорды $AB$ и $AB_1$ равны, то и градусные меры соответствующих им дуг (меньших полуокружности) равны.

Ответ: Доказано, что градусные меры дуг $AB$ и $AB_1$ равны.