Номер 716, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 716, страница 186.

Условие.

716 Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если $\cup AB = \cup CD$, то $AB = CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности.

По условию, дуга $AB$ равна дуге $CD$, что записывается как $ \cup AB = \cup CD $. Нам нужно доказать, что хорда $AB$ равна хорде $CD$.

Соединим точки $A$, $B$, $C$ и $D$ с центром окружности $O$. Получим два треугольника: $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.

Рассмотрим эти треугольники:

• $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, поэтому $OA = OB = R$.
• $OC$ и $OD$ — также радиусы этой же окружности, поэтому $OC = OD = R$.
• Следовательно, $OA = OC$ и $OB = OD$.
• Центральный угол $ \angle AOB $ опирается на дугу $ \cup AB $. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Аналогично, центральный угол $ \angle COD $ опирается на дугу $ \cup CD $.

Так как по условию $ \cup AB = \cup CD $, то и соответствующие им центральные углы равны: $ \angle AOB = \angle COD $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $OA = OC$ (как радиусы)
2. $OB = OD$ (как радиусы)
3. $ \angle AOB = \angle COD $ (как центральные углы, опирающиеся на равные дуги)

Из этого следует, что $ \triangle AOB = \triangle COD $.

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. Сторона $AB$ в $ \triangle AOB $ соответствует стороне $CD$ в $ \triangle COD $.

Таким образом, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.