Номер 26, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 26, страница 185.

Условие.

26 Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Основное свойство углов четырёхугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна 180°.

Докажем эту теорему.

Пусть четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Это означает, что все его вершины $A, B, C, D$ лежат на этой окружности. Рассмотрим две пары противолежащих углов: $\angle A$ и $\angle C$, а также $\angle B$ и $\angle D$.

Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$. Таким образом, его величина равна:
$\angle A = \frac{1}{2} \smile BCD$

Противолежащий ему угол $\angle C$ (или $\angle BCD$) опирается на дугу $DAB$. Его величина равна:
$\angle C = \frac{1}{2} \smile DAB$

Теперь найдем сумму этих двух углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \smile BCD + \frac{1}{2} \smile DAB = \frac{1}{2} (\smile BCD + \smile DAB)$

Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе образуют полную окружность, градусная мера которой составляет $360^\circ$.
Следовательно:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ$

Аналогичное рассуждение применимо и для второй пары противолежащих углов, $\angle B$ и $\angle D$.
Угол $\angle B$ опирается на дугу $ADC$, а угол $\angle D$ — на дугу $ABC$.
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \smile ADC + \frac{1}{2} \smile ABC = \frac{1}{2} (\smile ADC + \smile ABC) = \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ$

Таким образом, доказано, что в любом вписанном в окружность четырёхугольнике суммы противолежащих углов равны $180^\circ$.

Ответ: Сумма противолежащих углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.