Номер 20, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 20, страница 185.

Условие.

20 Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Доказательство

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ из вершин $A, B, C$ к сторонам $BC, AC, AB$ соответственно. Требуется доказать, что прямые, содержащие эти высоты, пересекаются в одной точке.

1. Построение.
Через каждую вершину треугольника $\triangle ABC$ проведем прямую, параллельную противолежащей стороне:
- через вершину $A$ проведем прямую $B_2C_2 \parallel BC$;
- через вершину $B$ проведем прямую $A_2C_2 \parallel AC$;
- через вершину $C$ проведем прямую $A_2B_2 \parallel AB$.
В результате пересечения этих трех прямых образуется новый треугольник $\triangle A_2B_2C_2$.

2. Свойства построенного треугольника.
Рассмотрим четырехугольник $ACBC_2$. По построению его противолежащие стороны попарно параллельны ($AC \parallel BC_2$ и $BC \parallel AC_2$), следовательно, $ACBC_2$ — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что $BC = AC_2$.
Аналогично, четырехугольник $AB_2CB$ также является параллелограммом ($BC \parallel AB_2$ и $AB \parallel CB_2$), следовательно, $BC = AB_2$.
Таким образом, мы имеем $AC_2 = BC$ и $AB_2 = BC$, откуда следует, что $AC_2 = AB_2$. Это означает, что точка $A$ является серединой стороны $B_2C_2$ треугольника $\triangle A_2B_2C_2$.
Точно так же доказывается, что точка $B$ — середина стороны $A_2C_2$, а точка $C$ — середина стороны $A_2B_2$.

3. Связь высот исходного треугольника и серединных перпендикуляров нового.
Рассмотрим высоту $AA_1$ треугольника $\triangle ABC$. По определению, она перпендикулярна стороне $BC$ ($AA_1 \perp BC$).
Так как по построению прямая $B_2C_2$ параллельна прямой $BC$, то прямая, содержащая высоту $AA_1$, перпендикулярна и прямой $B_2C_2$ ($AA_1 \perp B_2C_2$).
Поскольку прямая $AA_1$ проходит через середину отрезка $B_2C_2$ (точку $A$) и перпендикулярна ему, она является серединным перпендикуляром к стороне $B_2C_2$ треугольника $\triangle A_2B_2C_2$.

4. Вывод.
Аналогично, высота $BB_1$ является серединным перпендикуляром к стороне $A_2C_2$, а высота $CC_1$ — к стороне $A_2B_2$.
Известно, что три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника всегда пересекаются в одной точке (эта точка является центром описанной около этого треугольника окружности).
Следовательно, прямые, содержащие высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $\triangle ABC$, также пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, утверждающая, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, доказана. Доказательство основано на построении вспомогательного треугольника, для которого высоты исходного треугольника являются серединными перпендикулярами. Точка пересечения высот называется ортоцентром.