Номер 14, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 14, страница 184.

Условие.

14 Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

То есть, если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то справедливо равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Ответ: Если две хорды окружности $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то произведение отрезков, на которые точка пересечения делит первую хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит вторую хорду: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Доказательство

Пусть в окружности проведены две хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $P$.

Соединим отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.

В этих треугольниках:

1. Углы $\angle PAC$ и $\angle PDC$ равны, так как они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$.

2. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны, так как они являются вертикальными.

Следовательно, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем равенство:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на подобии треугольников $\triangle APC$ и $\triangle DPB$. Подобие устанавливается по двум углам: $\angle PAC = \angle PDC$ (как вписанные, опирающиеся на одну дугу) и $\angle APC = \angle DPB$ (как вертикальные). Из подобия следует пропорция $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$, из которой выводится искомое равенство $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.