Номер 16, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 16, страница 185.

Условие.

16 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством биссектрисы угла как геометрического места точек. Свойство заключается в следующем: каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Верно и обратное утверждение: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Обозначим их $l_A$ и $l_B$. Поскольку углы $A$ и $B$ являются углами треугольника, их сумма меньше $180^\circ$, и, следовательно, их биссектрисы не параллельны и пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $O$.

1. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе $l_A$ угла $A$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $AC$. Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OK$ на сторону $AB$, $OM$ на сторону $AC$ и $ON$ на сторону $BC$. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точки $O$ до сторон треугольника. Таким образом, из того, что $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, следует равенство: $OK = OM$.

2. Аналогично, так как точка $O$ лежит на биссектрисе $l_B$ угла $B$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $BA$ и $BC$. Следовательно, $OK = ON$.

3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, мы имеем $OK = OM$ и $OK = ON$. Отсюда следует, что все три расстояния равны между собой: $OM = ON = OK$. В частности, $OM = ON$.

4. Равенство $OM = ON$ означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, которые образуют угол $C$. Согласно утверждению, обратному свойству биссектрисы, точка $O$ должна лежать на биссектрисе угла $C$.

Таким образом, мы показали, что точка пересечения $O$ двух биссектрис ($l_A$ и $l_B$) обязательно принадлежит и третьей биссектрисе $l_C$. Это означает, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.