Номер 22, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 22, страница 185.

Условие.

22 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Формулировка теоремы: В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы его углов. По свойству биссектрис треугольника, все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Докажем, что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника.

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

1. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OK$ на сторону $AB$ и $ON$ на сторону $AC$. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точки $O$ до сторон. Следовательно, $OK = ON$.
2. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Опустим перпендикуляр $OM$ на сторону $BC$. Тогда $OK = OM$.

Из полученных равенств $OK = ON$ и $OK = OM$ следует, что $OK = OM = ON$. Обозначим это общее расстояние буквой $r$.

Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех трех сторон треугольника $ABC$. Это означает, что окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ проходит через точки $K$, $M$ и $N$. Так как радиусы $OK$, $OM$ и $ON$ перпендикулярны сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно, то эти стороны являются касательными к окружности в точках $K$, $M$ и $N$. Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник $ABC$. Существование окружности доказано.

Теперь докажем ее единственность. Предположим, что существует другая вписанная окружность. Ее центр должен быть равноудален от всех трех сторон треугольника. Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (сторон угла), есть биссектриса этого угла. Следовательно, центр любой вписанной окружности обязан лежать на каждой из трех биссектрис треугольника. Так как три биссектрисы пересекаются только в одной точке $O$, то центр вписанной окружности может быть только в этой точке. Радиус окружности однозначно определяется как расстояние от точки $O$ до любой из сторон. Таким образом, в любой треугольник можно вписать только одну окружность. Теорема доказана.

Ответ: Теорема сформулирована и доказана выше.

Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Как следует из доказательства теоремы о вписанной окружности, в любой данный треугольник можно вписать только одну окружность. Ее центр — это точка пересечения биссектрис, которая единственна, и ее радиус — это расстояние от этой точки до сторон, которое также единственно.

Ответ: в данный треугольник можно вписать только одну окружность.