Номер 23, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 23, страница 185.

Условие.

23 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Основное свойство сторон четырёхугольника, описанного около окружности, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Это утверждение известно как теорема Пито.

Докажем это свойство.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, стороны которого $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ касаются вписанной окружности в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, отрезки этих касательных от вершины до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства для отрезков:

• $AK = AN$
• $BK = BL$
• $CL = CM$
• $DM = DN$

Обозначим длины этих равных отрезков: $AK = AN = a$, $BK = BL = b$, $CL = CM = c$, $DM = DN = d$.

Тогда длины сторон четырёхугольника можно выразить через эти отрезки:

• $AB = AK + KB = a + b$
• $BC = BL + LC = b + c$
• $CD = CM + MD = c + d$
• $DA = DN + NA = d + a$

Теперь найдём суммы длин противоположных сторон четырёхугольника.

Сумма длин сторон $AB$ и $CD$:$AB + CD = (a + b) + (c + d) = a + b + c + d$

Сумма длин сторон $BC$ и $DA$:$BC + DA = (b + c) + (d + a) = a + b + c + d$

Поскольку правые части обоих выражений идентичны, то равны и левые части:$AB + CD = BC + DA$

Таким образом, свойство доказано.

Ответ: Суммы длин противоположных сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.