Номер 712, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 712, страница 185.

Условие.

712 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, причем $AB$ не является диаметром. Проведем касательные $k_1$ и $k_2$ к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно.

Нам нужно доказать, что прямые $k_1$ и $k_2$ пересекаются.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что касательные $k_1$ и $k_2$ не пересекаются. Поскольку они лежат в одной плоскости (плоскости окружности), это означает, что они параллельны: $k_1 \parallel k_2$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно:

• Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $k_1$ (то есть $OA \perp k_1$).
• Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $k_2$ (то есть $OB \perp k_2$).

Из нашего предположения $k_1 \parallel k_2$ и того факта, что $OA \perp k_1$, следует, что прямая $OA$ должна быть перпендикулярна и прямой $k_2$. Это следует из свойства параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Итак, мы имеем две прямые, $OA$ и $OB$, которые проходят через одну и ту же точку $O$ и обе перпендикулярны одной и той же прямой $k_2$. Согласно теореме о перпендикуляре к прямой, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это означает, что прямые $OA$ и $OB$ должны совпадать.

Если прямые $OA$ и $OB$ совпадают, то точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$, а значит, является диаметром.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что хорда $AB$ не является диаметром.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что касательные $k_1$ и $k_2$ параллельны, неверно. А раз они не параллельны, то они пересекаются.

Ответ: Что и требовалось доказать.