Номер 717, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 717, страница 186.

Условие.

717 Отрезок $AB$ является диаметром окружности, а хорды $BC$ и $AD$ параллельны. Докажите, что хорда $CD$ является диаметром.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность. По условию, отрезок $AB$ является её диаметром, а хорды $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Требуется доказать, что хорда $CD$ также является диаметром.

Доказательство:

Доказательство можно провести двумя способами.

Способ 1 (через дуги окружности)

Воспользуемся свойством параллельных хорд: дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Поскольку $BC \parallel AD$, то дуги $AC$ и $BD$, заключенные между ними, равны. Запишем это как равенство их градусных мер:

$\overarc{AC} = \overarc{BD}$

Так как $AB$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет градусную меру $180^\circ$. Рассмотрим дугу $ADB$, которая является одной из таких полуокружностей. Её градусная мера складывается из градусных мер дуг $AD$ и $DB$:

$\overarc{AD} + \overarc{DB} = 180^\circ$

Используя равенство дуг $AC$ и $BD$, заменим в последнем уравнении дугу $DB$ на дугу $AC$:

$\overarc{AD} + \overarc{AC} = 180^\circ$

Сумма дуг $AD$ и $AC$ образует дугу $CAD$. Следовательно, градусная мера дуги $CAD$ равна $180^\circ$.

$\overarc{CAD} = 180^\circ$

Хорда, которая стягивает дугу в $180^\circ$, является диаметром. Хорда $CD$ стягивает дугу $CAD$. Значит, $CD$ — диаметр.

Способ 2 (через свойства трапеции)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, все вершины которого лежат на окружности. Так как его стороны $BC$ и $AD$ по условию параллельны, то четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Известно, что любая трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны. В трапеции $ABCD$ основаниями являются параллельные стороны $AD$ и $BC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $CD$.

Следовательно, длины боковых сторон равны:

$AB = CD$

По условию задачи, отрезок $AB$ является диаметром. Это означает, что длина хорды $CD$ равна длине диаметра.

Хорда, длина которой равна диаметру, может быть только самим диаметром. Таким образом, $CD$ — это диаметр.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: хорда $CD$ является диаметром.