Номер 720, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 720, страница 186.

Условие.

720 Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением разностороннего треугольника и свойством серединного перпендикуляра. Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Ключевое свойство серединного перпендикуляра: любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Пусть дан разносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что длины его сторон различны: $AB \neq BC$, $BC \neq AC$ и $AC \neq AB$.

Рассмотрим, может ли какая-либо вершина, например $A$, лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо из сторон.

Сначала заметим, что вершина не может лежать на серединном перпендикуляре к прилежащей стороне. Например, вершина $A$ не может лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, так как этот перпендикуляр проходит через середину отрезка $AB$, а точка $A$ является его концом, а не серединой (в невырожденном треугольнике).

Следовательно, остается рассмотреть единственный возможный случай: вершина $A$ лежит на серединном перпендикуляре к противолежащей стороне $BC$.

Предположим, что вершина $A$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, расстояние от точки $A$ до точки $B$ должно быть равно расстоянию от точки $A$ до точки $C$. Это означает, что длины сторон $AB$ и $AC$ равны: $AB = AC$.

Если в треугольнике две стороны равны, то такой треугольник по определению является равнобедренным. Таким образом, наше предположение приводит к выводу, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Однако это противоречит начальному условию, что треугольник $ABC$ является разносторонним, то есть все его стороны, включая $AB$ и $AC$, должны иметь разную длину ($AB \neq AC$).

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, вершина $A$ не может лежать на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Аналогичные рассуждения справедливы и для других вершин: вершина $B$ не может лежать на серединном перпендикуляре к $AC$, а вершина $C$ – на серединном перпендикуляре к $AB$.

Ответ: нет, не может. Если бы вершина разностороннего треугольника лежала на серединном перпендикуляре к противолежащей стороне, то она была бы равноудалена от двух других вершин. Это означало бы, что две стороны треугольника, исходящие из этой вершины, равны. Такой треугольник был бы равнобедренным, что противоречит определению разностороннего треугольника.