Номер 723, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 723, страница 186.

Условие.

723 Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Прямые, содержащие основания $AD$ и $BC$, являются параллельными. Обозначим их как $a$ и $b$ соответственно ($a \parallel b$).
Существует окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которая касается прямых $a$ и $b$.
Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является средней линией трапеции. Обозначим эту прямую как $m$.

Доказать:

Прямая $m$ проходит через центр окружности $O$.

Доказательство:

1. По определению, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними.

2. Так как окружность с центром $O$ и радиусом $R$ касается прямых $a$ и $b$, то расстояние от центра $O$ до каждой из этих прямых равно радиусу $R$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от параллельных прямых $a$ и $b$.

3. Исходя из пункта 1 и 2, центр окружности $O$ должен лежать на прямой, которая параллельна прямым $a$ и $b$ и находится на одинаковом расстоянии от них.

4. Средняя линия трапеции, по своему свойству, соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. То есть, любая точка на прямой $m$, содержащей среднюю линию $MN$, равноудалена от прямых $a$ и $b$.

5. Таким образом, и центр окружности $O$, и прямая $m$ (содержащая среднюю линию) принадлежат одному и тому же геометрическому месту точек — прямой, равноудаленной от прямых $a$ и $b$, содержащих основания трапеции. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $m$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр окружности, которой касаются прямые, содержащие основания трапеции.