Номер 722, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 722, страница 186.

Условие.

722 Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности радиуса $r$. Известно, что $AB : CD = 2 : 3$, $AD : BC = 2 : 1$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами описанного четырёхугольника.

Пусть стороны четырёхугольника равны $AB$, $BC$, $CD$, $AD$. Из условия задачи имеем следующие соотношения:

$AB : CD = 2 : 3 \implies$ пусть $AB = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого $x > 0$.

$AD : BC = 2 : 1 \implies$ пусть $AD = 2y$ и $BC = y$ для некоторого $y > 0$.

Основное свойство описанного четырёхугольника (теорема Пифагора для четырёхугольников, или теорема Пито) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны:

$AB + CD = AD + BC$

Подставим в это равенство выражения для сторон через $x$ и $y$:

$2x + 3x = 2y + y$

$5x = 3y$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{5}{3}x$

Теперь мы можем выразить все стороны четырёхугольника через одну переменную $x$:

$AB = 2x$

$CD = 3x$

$BC = y = \frac{5}{3}x$

$AD = 2y = 2 \cdot \frac{5}{3}x = \frac{10}{3}x$

Площадь описанного многоугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — его полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Найдём периметр $P$ четырёхугольника $ABCD$:

$P = AB + BC + CD + AD = 2x + \frac{5}{3}x + 3x + \frac{10}{3}x$

Сгруппируем слагаемые:

$P = (2x + 3x) + (\frac{5}{3}x + \frac{10}{3}x) = 5x + \frac{15}{3}x = 5x + 5x = 10x$

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Теперь подставим значение полупериметра в формулу для площади:

$S = p \cdot r = 5x \cdot r$

Из этого уравнения найдём $x$, выразив его через известные величины $S$ и $r$:

$x = \frac{S}{5r}$

Наконец, найдём длины сторон четырёхугольника, подставив найденное значение $x$:

$AB = 2x = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r}$

$BC = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{S}{3r}$

$CD = 3x = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}$

$AD = \frac{10}{3}x = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{10S}{15r} = \frac{2S}{3r}$

Ответ: $AB = \frac{2S}{5r}$, $BC = \frac{S}{3r}$, $CD = \frac{3S}{5r}$, $AD = \frac{2S}{3r}$.