Номер 726, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 726, страница 187.

Условие.

726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ к стороне $BC$ проведена медиана $AM$, то есть $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $O$ — центр описанной около $\triangle ABC$ окружности. По условию задачи, точка $O$ лежит на отрезке (или прямой) $AM$.

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Следовательно, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это прямая, проходящая через середину этой стороны (точку $M$) и перпендикулярная ей. Обозначим эту прямую $p$.

Таким образом, мы имеем два факта:

1. Точка $O$ лежит на прямой $AM$ (по условию).
2. Точка $O$ лежит на прямой $p$ (по свойству центра описанной окружности).

Это означает, что точка $O$ является точкой пересечения прямых $AM$ и $p$. Заметим, что точка $M$ также принадлежит обеим этим прямым: она лежит на медиане $AM$ по определению и на серединном перпендикуляре $p$ как середина отрезка $BC$.

Рассмотрим два возможных случая, вытекающих из этого.

Случай 1: Прямые $AM$ и $p$ различны

Если прямая, содержащая медиану $AM$, и прямая серединного перпендикуляра $p$ не совпадают, они могут пересекаться только в одной точке. Поскольку мы установили, что обе точки, $O$ и $M$, лежат на пересечении этих прямых, они должны совпадать: $O = M$.

Это означает, что центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой стороны $BC$. Согласно известной теореме, центр описанной окружности лежит на стороне треугольника тогда и только тогда, когда этот треугольник является прямоугольным, а эта сторона — его гипотенузой. Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный, а его прямой угол — $\angle BAC$, противолежащий гипотенузе $BC$.

Ответ: В этом случае треугольник является прямоугольным.

Случай 2: Прямые $AM$ и $p$ совпадают

Если прямая, содержащая медиану $AM$, и прямая серединного перпендикуляра $p$ совпадают, это означает, что медиана $AM$ одновременно является и серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Из того, что $AM$ является серединным перпендикуляром, следует, что $AM \perp BC$. То есть, медиана $AM$ является также и высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

Если в треугольнике медиана к некоторой стороне является и высотой, проведенной к этой же стороне, то такой треугольник является равнобедренным. В данном случае это означает, что стороны, прилегающие к вершине $A$, равны: $AB = AC$. Для доказательства рассмотрим $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$: у них сторона $AM$ — общая, $BM = CM$ (так как $AM$ — медиана), и $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (так как $AM$ — высота). Следовательно, $\triangle AMB \cong \triangle AMC$ по двум сторонам и углу между ними, откуда $AB = AC$.

Ответ: В этом случае треугольник является равнобедренным.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и показали, что если центр описанной около треугольника окружности лежит на его медиане, то этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. Что и требовалось доказать.