Номер 719, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 719, страница 186.

Условие.

719 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность и точка $P$, лежащая вне её. Через точку $P$ проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно, так что точка $A$ находится между $P$ и $B$, а точка $C$ — между $P$ и $D$. Угол между секущими — это $\angle BPD$. Дуги, заключённые внутри этого угла — это дуга $AC$ (меньшая) и дуга $BD$ (большая). Требуется доказать, что величина угла $\angle BPD$ равна полуразности угловых мер этих дуг.

Доказательство:

1. Проведём дополнительное построение: соединим точки $A$ и $D$ хордой.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle APD$. Угол $\angle BAD$ является внешним углом этого треугольника при вершине $A$, поскольку он смежен с внутренним углом $\angle PAD$ (точки $P, A, B$ лежат на одной прямой).

3. По свойству внешнего угла треугольника, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BAD = \angle APD + \angle PDA$

4. Из этого равенства выразим искомый угол $\angle APD$:

$\angle APD = \angle BAD - \angle PDA$

5. Теперь найдём величины углов $\angle BAD$ и $\angle PDA$ через дуги окружности. Угол $\angle BAD$ является вписанным углом, который опирается на дугу $BD$. Следовательно, его величина равна половине угловой меры этой дуги:

$\angle BAD = \frac{1}{2}(\text{дуга } BD)$

6. Аналогично, угол $\angle PDA$ (он же $\angle CDA$) является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$. Его величина равна половине угловой меры этой дуги:

$\angle PDA = \frac{1}{2}(\text{дуга } AC)$

7. Подставим выражения для углов из пунктов 5 и 6 в формулу из пункта 4:

$\angle APD = \frac{1}{2}(\text{дуга } BD) - \frac{1}{2}(\text{дуга } AC)$

Вынося общий множитель, получаем:

$\angle APD = \frac{1}{2}(\text{дуга } BD - \text{дуга } AC)$

Таким образом, мы доказали, что угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Величина угла, образованного двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равна полуразности величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.