Номер 718, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 718, страница 186.

Условие.

718 По данным рисунка 237 докажите, что

$\angle AMB = \frac{1}{2}(\cup CLD + \cup AKB)$.

Решение

Проведём хорду $BC$. Так как $\angle AMB$ — внешний угол треугольника $BMC$, то $\angle AMB = \angle 1 + \angle 2$. По теореме о вписанном угле $\angle 1 = \frac{1}{2} \cup CLD$, $\angle 2 = \frac{1}{2} \cup AKB$, поэтому $\angle AMB = \frac{1}{2}(\cup CLD + \cup AKB)$.

Рис. 237

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника и теоремой о вписанном угле.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Угол $\angle AMB$ является внешним углом для этого треугольника, так как он смежен с внутренним углом $\angle AMC$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы $\angle MAC$ и $\angle MCA$. Таким образом, мы можем записать равенство:
$\angle AMB = \angle MAC + \angle MCA$

Теперь рассмотрим каждый из этих углов по отдельности.
Угол $\angle MAC$ (который также является углом $\angle DAC$) — это вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу $CLD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно:
$\angle MAC = \frac{1}{2} \cup CLD$

Аналогично, угол $\angle MCA$ (который также является углом $\angle BCA$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AKB$. Его величина также равна половине градусной меры этой дуги:
$\angle MCA = \frac{1}{2} \cup AKB$

Подставим полученные выражения для $\angle MAC$ и $\angle MCA$ в формулу для внешнего угла $\angle AMB$:
$\angle AMB = \frac{1}{2} \cup CLD + \frac{1}{2} \cup AKB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, чтобы получить окончательное выражение:
$\angle AMB = \frac{1}{2} (\cup CLD + \cup AKB)$

Таким образом, мы доказали, что угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.

Ответ: Что и требовалось доказать.