Номер 713, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 713, страница 185.

Условие.

713 Прямые $AB$ и $AC$ — касательные к окружности с центром $O$, $B$ и $C$ — точки касания. Через произвольную точку $X$, взятую на дуге $BC$, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что периметр треугольника $AMN$ и величина угла $MON$ не зависят от выбора точки $X$ на дуге $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство независимости периметра треугольника AMN от выбора точки X

Периметр треугольника $AMN$ по определению равен $P_{AMN} = AM + AN + MN$.
Отрезок $MN$ состоит из двух частей: $MN = MX + XN$.
Таким образом, $P_{AMN} = AM + AN + MX + XN$.
Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.
Для точки $M$ касательными являются $MB$ и $MX$. Следовательно, $MB = MX$.
Для точки $N$ касательными являются $NC$ и $NX$. Следовательно, $NC = NX$.
Заменим в формуле периметра $MX$ на $MB$ и $NX$ на $NC$:
$P_{AMN} = AM + AN + MB + NC$.
Сгруппируем слагаемые: $P_{AMN} = (AM + MB) + (AN + NC)$.
Так как точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, то $AM + MB = AB$ и $AN + NC = AC$.
Таким образом, $P_{AMN} = AB + AC$.
Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ — фиксированные точки (точка $A$ — точка пересечения исходных касательных, а $B$ и $C$ — точки касания), длины отрезков $AB$ и $AC$ являются постоянными величинами. Следовательно, периметр треугольника $AMN$ также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.
Ответ: Периметр треугольника $AMN$ равен $AB + AC$, что является постоянной величиной, не зависящей от положения точки $X$.

Доказательство независимости величины угла MON от выбора точки X

Рассмотрим треугольники, образованные центром окружности $O$, точками касания и точками $M$ и $N$.
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, из которой проведены две касательные, является биссектрисой угла между радиусами, проведенными в точки касания.
Для точки $M$ (касательные $MB$ и $MX$) отрезок $OM$ является биссектрисой угла $BOX$. Следовательно, $\angle MOX = \frac{1}{2} \angle BOX$.
Для точки $N$ (касательные $NC$ и $NX$) отрезок $ON$ является биссектрисой угла $COX$. Следовательно, $\angle NOX = \frac{1}{2} \angle COX$.
Угол $MON$ состоит из двух углов: $\angle MON = \angle MOX + \angle NOX$.
Подставим полученные выражения:
$\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOX + \frac{1}{2} \angle COX$
$\angle MON = \frac{1}{2} (\angle BOX + \angle COX)$
Сумма углов $\angle BOX + \angle COX$ равна углу $BOC$.
Следовательно, $\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOC$.
Поскольку точки $B$, $O$ и $C$ — фиксированные точки (центр окружности и исходные точки касания), то угол $BOC$ имеет постоянную величину. Значит, и угол $MON$, равный его половине, также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.
Ответ: Величина угла $MON$ равна $\frac{1}{2} \angle BOC$, что является постоянной величиной, не зависящей от положения точки $X$.