Номер 25, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 25, страница 185.

Условие.

25 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такой окружности и доказательства её единственности.

1. Существование.

Чтобы доказать существование описанной окружности, нужно найти точку, равноудалённую от всех трёх вершин треугольника ($A$, $B$ и $C$). Эта точка и будет её центром.

Множество точек, равноудалённых от двух вершин $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим его $m$. Аналогично, множество точек, равноудалённых от вершин $B$ и $C$, является серединным перпендикуляром $n$ к отрезку $BC$.

Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ пересекаются. Если бы они были параллельны, то прямые $AB$ и $BC$, которым они перпендикулярны, были бы либо параллельны, либо лежали бы на одной прямой. Но $AB$ и $BC$ — стороны треугольника, они не параллельны и не лежат на одной прямой. Следовательно, $m$ и $n$ пересекаются в некоторой точке $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к стороне $AB$, то она равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $n$ к стороне $BC$, то она равноудалена от точек $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

Из этих равенств следует, что $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника. Из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ также принадлежит серединному перпендикуляру к стороне $AC$.

Это означает, что все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Следовательно, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$ проходит через все три вершины $A, B, C$. Такая окружность называется описанной около треугольника $ABC$. Существование доказано.

2. Единственность.

Предположим, что существует другая окружность, описанная около треугольника $ABC$. Пусть её центр — точка $O'$. Тогда точка $O'$ должна быть равноудалена от всех вершин треугольника: $O'A = O'B = O'C$.

Следовательно, точка $O'$ должна принадлежать всем трём серединным перпендикулярам к сторонам треугольника. Но, как мы доказали, все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной-единственной точке $O$. Значит, точка $O'$ должна совпадать с точкой $O$.

Радиус этой окружности $R'$ равен расстоянию от центра до вершин, то есть $R' = O'A = OA = R$.

Поскольку центры и радиусы окружностей совпадают, то это одна и та же окружность. Следовательно, описанная около треугольника окружность единственна. Теорема доказана.

Ответ: Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Её центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Из доказанной выше теоремы, а именно из её части о единственности, следует, что около любого данного треугольника можно описать только одну окружность. Её центр и радиус определяются однозначно.

Ответ: 1.