Номер 714, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 714, страница 185.

Условие.

714* Две окружности имеют общую точку $M$ и общую касательную в этой точке. Прямая $AB$ касается одной окружности в точке $A$, а другой — в точке $B$. Докажите, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB$, необходимо доказать, что угол $\angle AMB$ является прямым, то есть $\angle AMB = 90^\circ$. Это следует из свойства, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Доказательство:

Пусть $l$ - общая касательная к двум окружностям в точке $M$. Прямая, на которой лежат точки $A$ и $B$, является второй общей касательной к этим окружностям. Поскольку эти две касательные не параллельны (в противном случае окружности были бы равны, а расстояние между точками касания $A$ и $B$ было бы равно расстоянию между центрами, что не соответствует общему случаю), они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $C$.

Рассмотрим отрезки касательных, проведенных из точки $C$ к первой окружности. Это отрезки $CA$ и $CM$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их длины равны:
$CA = CM$

Аналогично, рассмотрим отрезки касательных, проведенных из той же точки $C$ ко второй окружности. Это отрезки $CB$ и $CM$. Их длины также равны:
$CB = CM$

Из полученных равенств следует, что:
$CA = CM = CB$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $M$ с точкой $C$ на противоположной стороне $AB$. Из равенства $CA = CB$ следует, что точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом, отрезок $CM$ является медианой треугольника $\triangle AMB$, проведенной к стороне $AB$.

При этом длина этой медианы $CM$ равна половине длины стороны $AB$, так как $CM = CA = CB$ и $AB = CA + CB = 2 \cdot CM$.

По свойству прямоугольного треугольника (обратная теорема о медиане), если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий этой стороне (то есть угол при вершине, из которой проведена медиана), является прямым.

Следовательно, в треугольнике $\triangle AMB$ угол $\angle AMB = 90^\circ$.

Так как угол, под которым из точки $M$ виден отрезок $AB$, равен $90^\circ$, то точка $M$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.