Номер 18, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 18, страница 185.

Условие.

18 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпенди-куляре к отрезку.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
И обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Иначе говоря, серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от его концов.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей. Пусть дан отрезок $AB$, и прямая $m$ является его серединным перпендикуляром. Это означает, что прямая $m$ проходит через середину отрезка $AB$ (назовем ее точкой $O$) и перпендикулярна ему ($m \perp AB$).

1. Прямая теорема. Докажем, что любая точка $C$, лежащая на серединном перпендикуляре $m$, равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$, то есть $CA = CB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.
- Катет $AO$ равен катету $BO$, так как $O$ – середина отрезка $AB$.
- Катет $OC$ – общий для обоих треугольников.
Следовательно, треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $CA = CB$.
Первая часть доказана.

2. Обратная теорема. Докажем, что любая точка $D$, равноудаленная от концов отрезка $A$ и $B$ ($DA = DB$), лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADB$. По условию $DA=DB$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.
Проведем медиану $DO$ к его основанию $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой.
Это означает, что $O$ – середина $AB$ и $DO \perp AB$.
Таким образом, прямая, содержащая медиану $DO$, проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. По определению, эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Следовательно, точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре.
Вторая часть доказана.

Теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема о серединном перпендикуляре утверждает, что он является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Это означает, что: 1) каждая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка; 2) каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Доказательство прямой теоремы основано на равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам. Доказательство обратной теоремы основано на свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (она также является высотой).