Номер 13, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 13, страница 184.

Условие.

13 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о величине вписанного угла.

Теорема о вписанном угле: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим вписанный угол, который опирается на полуокружность. Пусть это будет угол $ \angle ACB $.

Тот факт, что угол опирается на полуокружность, означает, что хорда $AB$, на которую он опирается, является диаметром окружности.

Дуга, соответствующая полуокружности, составляет половину от полной окружности. Градусная мера полной окружности равна $360^{\circ}$, следовательно, градусная мера дуги полуокружности равна:

$ \frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ} $

Теперь применим теорему о вписанном угле. Величина угла $ \angle ACB $ равна половине градусной меры дуги $AB$, на которую он опирается:

$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB $

Подставим значение градусной меры дуги полуокружности:

$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ} $

Угол, величина которого равна $90^{\circ}$, называется прямым. Следовательно, вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Так как полуокружность соответствует дуге в $180^{\circ}$, то вписанный угол, опирающийся на нее, равен $180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$, то есть является прямым.