Номер 12, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 12, страница 184.

Условие.

12 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Доказательство
Пусть в окружности даны два произвольных вписанных угла, $\angle ACB$ и $\angle ADB$, которые опираются на одну и ту же дугу $AB$.
Согласно свойству вписанного угла (теореме о вписанном угле), его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Для угла $\angle ACB$ это свойство записывается в виде формулы:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB$
Аналогично, для угла $\angle ADB$, который опирается на ту же самую дугу $AB$, справедливо такое же соотношение:
$\angle ADB = \frac{1}{2} \smile AB$
Поскольку правые части этих двух равенств одинаковы (обе равны половине градусной меры дуги $AB$), то их левые части также должны быть равны друг другу:
$\angle ACB = \angle ADB$
Так как углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$ были выбраны произвольно, это доказывает, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, так как градусная мера каждого из них равна половине градусной меры этой общей дуги.