Номер 5, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 5, страница 184.

Условие.

5 Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и точку $A$, лежащую вне этой окружности. Проведём из точки $A$ две касательные к окружности. Пусть $B$ и $C$ — точки касания. Требуется доказать, что отрезки касательных $AB$ и $AC$ равны, а также что углы, образованные этими касательными с прямой $AO$, равны.

Соединим центр окружности $O$ с точками касания $B$ и $C$ и с точкой $A$. Рассмотрим два образовавшихся треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны

Сравним треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

• $OB = OC$ как радиусы одной и той же окружности.
• Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.
• По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными. Они равны по гипотенузе и катету (общая гипотенуза $AO$ и равные катеты-радиусы $OB$ и $OC$).

Из равенства треугольников ($\triangle ABO \cong \triangle ACO$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABO$ равна соответствующей стороне $AC$ треугольника $\triangle ACO$.

Ответ: Доказано, что отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны ($AB = AC$).

Касательные составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

Как было установлено в предыдущем пункте, $\triangle ABO \cong \triangle ACO$ (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAO$ в треугольнике $\triangle ABO$ равен соответствующему углу $\angle CAO$ в треугольнике $\triangle ACO$.

Следовательно, $\angle BAO = \angle CAO$. Это означает, что прямая $AO$, которая проходит через точку $A$ и центр окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$, образованного касательными $AB$ и $AC$.

Ответ: Доказано, что касательные, проведённые из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.