Номер 4, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 4, страница 184.

Условие.

4 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$, и прямая $p$, которая касается окружности в точке $A$. Нам нужно доказать, что прямая $p$ перпендикулярна радиусу $OA$, то есть $p \perp OA$.

Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что наше утверждение неверно, то есть радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $p$. В таком случае $OA$ является наклонной к прямой $p$.

Если $OA$ — наклонная, то из точки $O$ можно провести перпендикуляр $OH$ на прямую $p$. Так как $OA$ — наклонная, а $OH$ — перпендикуляр, то точка $H$ не совпадает с точкой $A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Поскольку $OH$ — перпендикуляр к прямой $p$, то $\triangle OHA$ — прямоугольный с прямым углом $H$. В этом треугольнике сторона $OA$ является гипотенузой, а сторона $OH$ — катетом. По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза всегда длиннее катета. Следовательно, $OA > OH$.

Поскольку точка $A$ является точкой касания, она лежит на окружности. Это означает, что длина отрезка $OA$ равна радиусу окружности: $OA = r$. Из неравенства $OA > OH$ следует, что $OH < r$.

Неравенство $OH < r$ означает, что расстояние от центра окружности $O$ до точки $H$, лежащей на прямой $p$, меньше радиуса. Любая точка, расстояние от которой до центра окружности меньше радиуса, лежит внутри круга. Таким образом, точка $H$ находится внутри круга.

С другой стороны, по определению касательной, она имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания $A$. Все остальные точки касательной должны лежать вне окружности. Мы же пришли к выводу, что точка $H$, которая лежит на касательной $p$ и не совпадает с $A$, находится внутри круга.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, радиус $OA$ должен быть перпендикулярен касательной $p$.

Теорема доказана.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема о свойстве касательной, которая гласит: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.