Номер 710, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 710, страница 184.

Условие.

710 Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

ABCD — трапеция, вписанная в окружность.

Основания $BC \parallel AD$.

Доказать:

Трапеция ABCD — равнобедренная, то есть её боковые стороны равны ($AB = CD$).

Доказательство:

Так как трапеция ABCD вписана в окружность, её вершины A, B, C и D лежат на этой окружности, а стороны являются хордами. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Воспользуемся свойством окружности: дуги, заключённые между двумя параллельными хордами, равны.

В данном случае, между параллельными хордами BC и AD находятся дуги AB и CD.

Следовательно, величина дуги AB равна величине дуги CD.

Далее воспользуемся свойством, что в одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами.

Поскольку дуга AB равна дуге CD, то и хорды, которые их стягивают, также равны:

$AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, по определению является равнобедренной.

Таким образом, трапеция ABCD — равнобедренная, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.