Номер 709, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 709, страница 184.

Условие.

709 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, около которого описана окружность. Это означает, что все вершины параллелограмма лежат на этой окружности, и, следовательно, $ABCD$ является вписанным четырехугольником.

По свойству параллелограмма известно, что его противолежащие углы равны. То есть:

$\angle A = \angle C$

$\angle B = \angle D$

В то же время, для любого четырехугольника, вписанного в окружность, действует свойство, согласно которому сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Теперь объединим эти свойства. Рассмотрим пару углов $\angle A$ и $\angle C$. У нас есть система из двух уравнений:

1) $\angle A = \angle C$

2) $\angle A + \angle C = 180^\circ$

Подставим значение $\angle C$ из первого уравнения во второе:

$\angle A + \angle A = 180^\circ$

$2 \cdot \angle A = 180^\circ$

$\angle A = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как $\angle C = \angle A$, то $\angle C = 90^\circ$.

Аналогично поступим для пары углов $\angle B$ и $\angle D$:

1) $\angle B = \angle D$

2) $\angle B + \angle D = 180^\circ$

Подставив $\angle D$ из первого уравнения во второе, получим:

$\angle B + \angle B = 180^\circ$

$2 \cdot \angle B = 180^\circ$

$\angle B = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как $\angle D = \angle B$, то $\angle D = 90^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$. По определению, параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.