Номер 704, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 704, страница 183.

Условие.

704 Окружность с центром $O$ описана около прямоугольного треугольника.

а) Докажите, что точка $O$ — середина гипотенузы.

б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен $d$, а один из острых углов треугольника равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$, где $\angle C = 90^\circ$ — прямой угол.

Поскольку треугольник вписан в окружность, его вершины лежат на окружности. Угол $\angle C$ является вписанным углом. По свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол $\angle C = 90^\circ$ опирается на дугу $AB$. Следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

Дуга, равная $180^\circ$, является полуокружностью. Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром окружности. Значит, гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.

Центр окружности $O$ по определению является серединой любого ее диаметра. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$.

Ответ: Утверждение, что точка $O$ является серединой гипотенузы, доказано.

б)

Пусть стороны прямоугольного треугольника — это катеты $a$, $b$ и гипотенуза $c$.

Как доказано в пункте а), гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности. По условию задачи, диаметр равен $d$. Таким образом, гипотенуза $c = d$.

Один из острых углов треугольника равен $\alpha$. Пусть это будет угол, противолежащий катету $a$. Катеты и гипотенуза в прямоугольном треугольнике связаны через тригонометрические функции острых углов.

Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$a = c \cdot \sin(\alpha) = d \cdot \sin(\alpha)$.

Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$b = c \cdot \cos(\alpha) = d \cdot \cos(\alpha)$.

Следовательно, стороны треугольника — это гипотенуза $d$ и катеты $d \sin(\alpha)$ и $d \cos(\alpha)$.

Ответ: $d$, $d \sin(\alpha)$, $d \cos(\alpha)$.