Номер 697, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 697, страница 183.

Условие.

697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

$S = \frac{1}{2} P r$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан описанный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Обозначим его площадь как $S$, периметр как $P$, а радиус вписанной в него окружности как $r$. Пусть $O$ — центр этой окружности.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с каждой вершиной многоугольника ($A_1, A_2, ..., A_n$). В результате многоугольник будет разбит на $n$ треугольников: $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, ..., \triangle OA_nA_1$. Площадь всего многоугольника равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} + ... + S_{\triangle OA_nA_1}$

Рассмотрим любой из этих треугольников, например, $\triangle OA_1A_2$. Его основанием является сторона многоугольника $a_1 = A_1A_2$. Высотой, опущенной из вершины $O$ на это основание, является радиус вписанной окружности $r$. Это следует из свойства касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_2$ находится по формуле: $S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot r$.

Аналогично, площади всех остальных треугольников, на которые разбит многоугольник, равны:
$S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot r$
$S_{\triangle OA_3A_4} = \frac{1}{2} \cdot a_3 \cdot r$
...
$S_{\triangle OA_nA_1} = \frac{1}{2} \cdot a_n \cdot r$

Сложив площади всех треугольников, получим площадь многоугольника:
$S = \frac{1}{2}a_1r + \frac{1}{2}a_2r + ... + \frac{1}{2}a_nr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2}r(a_1 + a_2 + ... + a_n)$

Сумма в скобках $(a_1 + a_2 + ... + a_n)$ представляет собой сумму длин всех сторон многоугольника, то есть его периметр $P$.
Таким образом, мы приходим к искомой формуле:
$S = \frac{1}{2}r \cdot P$, или $S = \frac{1}{2}P \cdot r$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь описанного многоугольника ($S$) действительно равна половине произведения его периметра ($P$) на радиус вписанной окружности ($r$), что выражается формулой $S = \frac{1}{2}P \cdot r$.