Номер 692, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 692, страница 182.

Условие.

692 В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB, BC$ и $CA$ в точках $P, Q$ и $R$. Найдите $AP, PB, BQ, QC, CR, RA$, если $AB=10$ см, $BC=12$ см, $CA=5$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Это означает:

• $AP = AR$
• $PB = BQ$
• $QC = CR$

Пусть $AP = AR = x$, $PB = BQ = y$, $QC = CR = z$.

Исходя из данных длин сторон треугольника, можно составить систему уравнений:

$AB = AP + PB \implies x + y = 10$

$BC = BQ + QC \implies y + z = 12$

$CA = CR + RA \implies z + x = 5$

Для решения системы сложим все три уравнения:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 10 + 12 + 5$

$2x + 2y + 2z = 27$

$2(x + y + z) = 27$

$x + y + z = 13.5$

Теперь, имея сумму трех переменных, мы можем найти каждую из них, вычитая соответствующее уравнение из первоначальной системы.

AP

Длина отрезка $AP$ равна $x$. Чтобы найти $x$, вычтем из уравнения $x + y + z = 13.5$ уравнение $y + z = 12$:

$x = (x + y + z) - (y + z) = 13.5 - 12 = 1.5$ см.

Ответ: $AP = 1.5$ см.

PB

Длина отрезка $PB$ равна $y$. Чтобы найти $y$, вычтем из уравнения $x + y + z = 13.5$ уравнение $z + x = 5$:

$y = (x + y + z) - (x + z) = 13.5 - 5 = 8.5$ см.

Ответ: $PB = 8.5$ см.

BQ

По свойству касательных $BQ = PB$.

Ответ: $BQ = 8.5$ см.

QC

Длина отрезка $QC$ равна $z$. Чтобы найти $z$, вычтем из уравнения $x + y + z = 13.5$ уравнение $x + y = 10$:

$z = (x + y + z) - (x + y) = 13.5 - 10 = 3.5$ см.

Ответ: $QC = 3.5$ см.

CR

По свойству касательных $CR = QC$.

Ответ: $CR = 3.5$ см.

RA

По свойству касательных $RA = AP$.

Ответ: $RA = 1.5$ см.