Номер 688, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 688, страница 178.

Условие.

688 ☐ Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри данного угла, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от концов данного отрезка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Быть равноудаленной от сторон данного угла.
2. Быть равноудаленной от концов данного отрезка.

Рассмотрим ГМТ, удовлетворяющие каждому из этих условий.

Анализ

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла. Так как искомая точка должна лежать внутри угла, она должна принадлежать лучу, являющемуся биссектрисой данного угла. Обозначим этот луч как $l$.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Обозначим эту прямую как $m$.

Следовательно, искомая точка является точкой пересечения биссектрисы угла $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $m$.

Построение

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и отрезок $AB$.

1. Строим биссектрису $l$ данного угла $O$. Для этого проводим окружность произвольного радиуса с центром в точке $O$. Пусть она пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$. Затем строим две окружности с одинаковым радиусом (большим половины длины дуги $CD$) с центрами в точках $C$ и $D$. Точка их пересечения (внутри угла), назовем ее $E$, лежит на биссектрисе. Проводим луч $OE$ — это и есть биссектриса $l$.
2. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Для этого проводим две окружности одинакового радиуса (большего половины длины $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$. Эти окружности пересекутся в двух точках. Прямая, проходящая через эти две точки, является серединным перпендикуляром $m$ к отрезку $AB$.
3. Находим точку пересечения луча $l$ и прямой $m$. Обозначим эту точку $P$.

Точка $P$ является искомой.

Доказательство

По построению точка $P$ принадлежит биссектрисе $l$ угла $O$. Следовательно, она равноудалена от сторон этого угла. Также по построению точка $P$ принадлежит серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $AB$. Следовательно, она равноудалена от точек $A$ и $B$ (т.е. $PA = PB$). Так как $P$ лежит на луче-биссектрисе, она находится внутри угла. Таким образом, точка $P$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Проанализируем количество возможных решений. Решение задачи — это точка пересечения луча $l$ (биссектрисы) и прямой $m$ (серединного перпендикуляра).

• Одно решение: Если луч $l$ и прямая $m$ пересекаются в одной точке. Это наиболее общий случай.
• Нет решений: Если прямая $m$ параллельна лучу $l$ (и не совпадает с ним) или пересекает прямую, содержащую луч $l$, вне самого луча (т.е. "за" вершиной угла).
• Бесконечно много решений: Если прямая $m$ содержит луч $l$. Это возможно в частном случае, когда серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ совпадает с прямой, содержащей биссектрису угла $O$. В этом случае любая точка на биссектрисе $l$ будет являться решением.

Таким образом, задача может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений в зависимости от взаимного расположения угла и отрезка.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к данному отрезку. В зависимости от их взаимного расположения, задача может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений.