Номер 681, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 681, страница 177.

Условие.

681 Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Найдите основание $AC$, если периметр треугольника $AEC$ равен $27 \text{ см}$, а $AB=18 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В задаче просят найти основание $AC$, следовательно, боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$, и они равны: $AB = BC$.

Так как по условию $AB = 18$ см, то и $BC = 18$ см.

Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $E$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$, то расстояния от $E$ до вершин $A$ и $B$ равны:

$AE = BE$.

Периметр треугольника $AEC$ ($P_{AEC}$) равен сумме длин его сторон:

$P_{AEC} = AE + EC + AC$.

По условию $P_{AEC} = 27$ см.

Подставим в формулу периметра $BE$ вместо равного ему отрезка $AE$:

$P_{AEC} = BE + EC + AC$.

Точка $E$ лежит на стороне $BC$, значит, сумма отрезков $BE$ и $EC$ равна длине стороны $BC$:

$BE + EC = BC$.

Таким образом, периметр треугольника $AEC$ можно выразить как:

$P_{AEC} = BC + AC$.

Теперь подставим известные значения в это равенство ($P_{AEC} = 27$ см и $BC = 18$ см):

$27 = 18 + AC$.

Выразим $AC$:

$AC = 27 - 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.