Номер 676, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 676, страница 177.

Условие.

676. Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса r. Найдите:

а) $OA$, если $r = 5$ см, $\angle A = 60^{\circ}$;

б) $r$, если $OA = 14$ дм, $\angle A = 90^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны угла $A$ касаются окружности в точках $B$ и $C$. Центр окружности $O$, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике $OB = r$ (катет, противолежащий углу $OAB$), $OA$ — гипотенуза, а угол $\angle OAB = \frac{\angle A}{2}$. Соотношение между сторонами и углами в $\triangle OBA$ выражается формулой: $\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} = \frac{r}{OA}$.

а)

Дано: $r = 5$ см, $\angle A = 60^\circ$. Найдем угол $\angle OAB$: $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из формулы $\sin(\angle OAB) = \frac{r}{OA}$ выразим $OA$: $OA = \frac{r}{\sin(\angle OAB)}$.

Подставим известные значения: $OA = \frac{5}{\sin(30^\circ)}$.

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $OA = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

б)

Дано: $OA = 14$ дм, $\angle A = 90^\circ$. Найдем угол $\angle OAB$: $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Из формулы $\sin(\angle OAB) = \frac{r}{OA}$ выразим $r$: $r = OA \cdot \sin(\angle OAB)$.

Подставим известные значения: $r = 14 \cdot \sin(45^\circ)$.

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $r = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ дм.

Ответ: $7\sqrt{2}$ дм.