Номер 683, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 683, страница 177.

Условие.

683 Докажите, что если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ не равны, то медиана $AM$ треугольника не является высотой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что в треугольнике $ABC$, в котором стороны $AB$ и $AC$ не равны ($AB \ne AC$), медиана $AM$ является высотой.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

1. Так как $AM$ — медиана, она делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BM = MC$.

2. Так как по нашему предположению $AM$ — высота, она перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$.

3. Сторона $AM$ является общей для обоих треугольников.

Исходя из этих трех пунктов, мы можем заключить, что $\triangle ABM$ равен $\triangle ACM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В данном случае, это также признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ должна быть равна стороне $AC$ треугольника $\triangle ACM$, то есть $AB = AC$.

Однако, это равенство ($AB = AC$) противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что $AB \ne AC$.

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что медиана $AM$ является высотой, было неверным. Следовательно, если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ не равны, то медиана $AM$ не является высотой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что медиана $AM$ является высотой при условии $AB \ne AC$, то $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ будут равны (по двум катетам). Из равенства треугольников следует $AB = AC$, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и медиана $AM$ не является высотой.