Номер 686, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 686, страница 178.

Условие.

686 Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Пусть $AB$ — данный отрезок.

Построим две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ радиуса $AB$ (рис. 230). Эти окружности пересекаются в двух точках $M_1$ и $M_2$. Отрезки $AM_1, AM_2, BM_1, BM_2$ равны друг другу как радиусы этих окружностей.

Рис. 230

Проведём прямую $M_1M_2$. Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. В самом деле, точки $M_1$ и $M_2$ равноудалены от концов отрезка $AB$, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая $M_1M_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Задача состоит в построении серединного перпендикуляра к заданному отрезку $AB$ с помощью циркуля и линейки. Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля строим первую окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$, равным длине отрезка $AB$.
2. Строим вторую окружность с центром в точке $B$ и тем же радиусом $R = AB$.
3. Данные окружности пересекутся в двух точках, которые мы обозначим как $M_1$ и $M_2$.
4. С помощью линейки проводим прямую через точки $M_1$ и $M_2$.

Полученная прямая $M_1M_2$ и является искомым серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Доказательство:

Рассмотрим полученные точки $M_1$ и $M_2$.

По построению, точка $M_1$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, следовательно, расстояние $AM_1$ равно $AB$. Также точка $M_1$ лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $AB$, следовательно, расстояние $BM_1$ равно $AB$. Таким образом, мы имеем равенство $AM_1 = BM_1 = AB$. Это означает, что точка $M_1$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

Аналогичные рассуждения верны и для точки $M_2$. Она принадлежит обеим окружностям, поэтому $AM_2 = AB$ и $BM_2 = AB$. Отсюда следует, что $AM_2 = BM_2 = AB$, то есть точка $M_2$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Поскольку обе точки, $M_1$ и $M_2$, равноудалены от точек $A$ и $B$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Через две различные точки можно провести только одну прямую. Следовательно, прямая, проходящая через точки $M_1$ и $M_2$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Также можно рассмотреть четырехугольник $AM_1BM_2$. Все его стороны равны длине отрезка $AB$: $AM_1 = M_1B = BM_2 = M_2A = AB$. Следовательно, $AM_1BM_2$ — ромб. По свойству ромба, его диагонали ($AB$ и $M_1M_2$) взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это также доказывает, что прямая $M_1M_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Прямая, проведенная через точки пересечения двух окружностей с центрами в концах отрезка и радиусами, равными длине этого отрезка, является его серединным перпендикуляром.