Номер 691, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 691, страница 182.

Условие.

691 ☐ Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. В треугольник вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $N$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки 3 см и 4 см, считая от основания. Рассмотрим боковую сторону $BC$. Точка касания $M$ делит ее на отрезки $CM$ и $BM$. Отрезок, идущий от основания $AC$, – это $CM$. Следовательно, $CM = 3$ см, а $BM = 4$ см.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = CM + BM = 3 + 4 = 7$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то его боковые стороны равны:
$AB = BC = 7$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.
1. Для вершины $C$: отрезки касательных $CM$ и $CN$ равны. $CN = CM = 3$ см.
2. Для вершины $B$: отрезки касательных $BM$ и $BK$ равны. $BK = BM = 4$ см.
3. Для вершины $A$: отрезки касательных $AK$ и $AN$ равны.

Найдем длину отрезка $AK$. Так как $AB = 7$ см и $BK = 4$ см, то:
$AK = AB - BK = 7 - 4 = 3$ см.
Следовательно, $AN = AK = 3$ см.

Теперь найдем длину основания $AC$:
$AC = AN + NC = 3 + 3 = 6$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 6 = 20$ см.

Ответ: 20 см.