Номер 689, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 689, страница 182.

Условие.

689 □ В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдём полупериметр треугольника (p)

Дано, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковые стороны — по 13 см. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:

$P = 13 + 13 + 10 = 36$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдём площадь треугольника (S)

Для нахождения площади проведём высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка. Длина каждого отрезка будет $10 / 2 = 5$ см.

Эта высота делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза равна боковой стороне (13 см), один катет — половине основания (5 см), а второй катет — это высота $h$.

По теореме Пифагора найдём высоту $h$:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ - основание, а $h_a$ - высота, проведённая к нему:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

3. Найдём радиус вписанной окружности (r)

Используем формулу, зная площадь $S = 60$ см$^2$ и полупериметр $p = 18$ см:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18}$

Сократим полученную дробь на 6:

$r = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: $3 \frac{1}{3}$ см.