Номер 694, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 694, страница 183.

Условие.

694 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна $c$, а сумма катетов равна $m$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Радиус вписанной в треугольник окружности обозначим как r, а ее диаметр как d.

Согласно условию задачи, мы имеем:

Сумма катетов: $a + b = m$

Гипотенуза: $c$

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности r можно найти по формуле, которая связывает его с длинами катетов и гипотенузы:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Эта формула является следствием свойства, что для любого описанного многоугольника его площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности ($S = p \cdot r$), и того, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов ($S = \frac{1}{2}ab$). Также ее можно легко вывести, используя свойство равенства отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности.

В нашем случае, мы можем подставить данное из условия значение суммы катетов ($a+b=m$) в эту формулу:

$r = \frac{m - c}{2}$

Диаметр окружности d равен двум ее радиусам:

$d = 2r$

Теперь подставим полученное выражение для радиуса в формулу для диаметра:

$d = 2 \cdot \frac{m - c}{2}$

Сокращая двойки в числителе и знаменателе, мы получаем окончательное выражение для диаметра:

$d = m - c$

Таким образом, диаметр вписанной окружности равен разности между суммой катетов и гипотенузой.

Ответ: $m - c$