Номер 690, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 690, страница 182.

Условие.

690 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности (инцентр) $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то инцентр $O$ лежит на высоте $BH$.

По условию, центр $O$ делит высоту $BH$ в отношении $12:5$, считая от вершины $B$. Это означает, что $\frac{BO}{OH} = \frac{12}{5}$.

Расстояние от инцентра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Так как $BH \perp AC$, то отрезок $OH$ является радиусом вписанной окружности, то есть $OH = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$ (или $\angle BAC$), так как инцентр $O$ лежит на пересечении всех биссектрис.

По свойству биссектрисы угла треугольника (теорема о биссектрисе), биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применим это свойство к биссектрисе $AO$ в треугольнике $ABH$:

$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{12}{5} = \frac{60}{AH}$

Отсюда найдем $AH$:

$12 \cdot AH = 5 \cdot 60$

$12 \cdot AH = 300$

$AH = \frac{300}{12} = 25$ см.

Поскольку высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является также и медианой, точка $H$ — середина основания $AC$. Следовательно, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AH$:

$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Ответ: 50 см.