Номер 693, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 693, страница 183.

Условие.

693 ☁ В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса $r$. Найдите периметр треугольника, если:

а) гипотенуза равна 26 см, $r=4$ см;

б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — гипотенуза, $r$ — радиус вписанной окружности. Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + c$.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности связан с его сторонами следующей формулой: $r = \frac{a + b - c}{2}$.

Из этой формулы выразим сумму катетов: $a + b = c + 2r$.

Теперь подставим полученное выражение для суммы катетов в формулу периметра:

$P = (a + b) + c = (c + 2r) + c = 2c + 2r$.

По условию задачи даны гипотенуза $c = 26$ см и радиус вписанной окружности $r = 4$ см. Вычислим периметр:

$P = 2 \cdot 26 + 2 \cdot 4 = 52 + 8 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

б)

Пусть точка касания делит гипотенузу $c$ на отрезки $x = 5$ см и $y = 12$ см. В этом случае длина гипотенузы равна сумме длин этих отрезков:

$c = x + y = 5 + 12 = 17$ см.

Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$. Согласно свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Если $r$ — радиус вписанной окружности, то катеты можно выразить через отрезки гипотенузы и радиус:

$a = y + r = 12 + r$

$b = x + r = 5 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(12 + r)^2 + (5 + r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$(144 + 24r + r^2) + (25 + 10r + r^2) = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $r_1 = -20$ и $r_2 = 3$. Поскольку радиус окружности не может быть отрицательной величиной, выбираем $r = 3$ см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника $P$. Периметр равен сумме длин всех сторон: $P = a + b + c$.

$P = (12 + r) + (5 + r) + c = (12 + 3) + (5 + 3) + 17 = 15 + 8 + 17 = 40$ см.

Также можно воспользоваться формулой, выведенной в пункте а): $P = 2c + 2r$.

$P = 2 \cdot 17 + 2 \cdot 3 = 34 + 6 = 40$ см.

Ответ: 40 см.