Номер 698, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 698, страница 183.

Условие.

698 ◻ Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами описанного четырёхугольника и формулой для его площади.

1. Находим периметр четырёхугольника.

Основное свойство описанного четырёхугольника (теорема Пифагора для четырёхугольников или теорема Пито) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Если обозначить стороны четырёхугольника как $a, b, c$ и $d$, то $a+c = b+d$.

По условию, сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Пусть $a+c = 12$ см. Тогда, согласно свойству, сумма двух других противоположных сторон также равна 12 см: $b+d = 12$ см.

Периметр $P$ четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон:

$P = a+b+c+d = (a+c) + (b+d) = 12 + 12 = 24$ см.

2. Находим площадь четырёхугольника.

Площадь $S$ любого описанного многоугольника можно найти по формуле, связывающей его площадь с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p$:

$S = p \cdot r$

Сначала найдём полупериметр $p$:

$p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности дан в условии: $r = 5$ см.

Теперь вычислим площадь четырёхугольника:

$S = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: 60 см².