Номер 705, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 705, страница 183.

Условие.

705 □ Около прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если:

а) $AC=8$ см, $BC=6$ см;

б) $AC=18$ см, $\angle B=30^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы. Для треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенузой является сторона $AB$, поэтому $R = \frac{AB}{2}$.

а)

Даны катеты $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

б)

Дан катет $AC = 18$ см и противолежащий ему угол $\angle B = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $B$ запишем:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда можем выразить гипотенузу $AB$:

$AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$AB = \frac{18}{\sin(30^\circ)} = \frac{18}{1/2} = 18 \cdot 2 = 36$ см.

Найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.