Номер 708, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 708, страница 184.

Условие.

708 Докажите, что можно описать окружность:

а) около любого прямоугольника;

б) около любой равнобедренной трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны: $AO = OC = BO = OD$.

Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром описанной около него окружности.

Таким образом, точка $O$ является центром окружности, которая проходит через все четыре вершины прямоугольника ($A$, $B$, $C$ и $D$), а радиус этой окружности равен половине длины диагонали.

Следовательно, около любого прямоугольника можно описать окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$.

Рассмотрим произвольную равнобедренную (равнобокую) трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

По свойству равнобедренной трапеции, углы при каждом из ее оснований равны. То есть, $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Также, по свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Например, для боковой стороны $AB$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Теперь проверим сумму противолежащих углов трапеции.
Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$: так как $\angle A = \angle D$, мы можем в равенстве $\angle A + \angle B = 180^\circ$ заменить угол $\angle A$ на равный ему угол $\angle D$. Получим: $\angle D + \angle B = 180^\circ$.
Сумма углов $\angle A$ и $\angle C$: так как $\angle B = \angle C$, мы можем в равенстве $\angle A + \angle B = 180^\circ$ заменить угол $\angle B$ на равный ему угол $\angle C$. Получим: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов равнобедренной трапеции равны $180^\circ$, то условие для описания окружности выполняется. Следовательно, около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.