Номер 707, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 707, страница 183.

Условие.

707 $\square$ Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $120^\circ$, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковая сторона равна 8 см, а угол при вершине, противолежащий основанию, равен $120^\circ$. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где $AB = BC = 8$ см — боковые стороны, а $AC$ — основание. Угол при вершине $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle A = \angle C$). Найдем величину этих углов:
$\angle A = \angle C = (180^\circ - \angle B) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Диаметр $D$ описанной около треугольника окружности можно найти с помощью следствия из теоремы синусов, которое гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности ($D = 2R$, где $R$ — радиус):
$D = \frac{a}{\sin \alpha}$

Для расчета мы можем взять боковую сторону $BC = 8$ см и противолежащий ей угол $\angle A = 30^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$D = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$D = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.