Номер 703, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 703, страница 183.

Условие.

703 В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Найдите углы треугольника, если $\cup BC = 102^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = AC$), и углы при основании также равны ($\angle ABC = \angle ACB$).

Треугольник вписан в окружность, а величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. В зависимости от расположения вершины $A$ относительно хорды $BC$, задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Вершина A расположена на большей дуге, стягиваемой хордой BC.

В этом случае угол $\angle BAC$ опирается на меньшую дугу $BC$, градусная мера которой равна $102^\circ$.

Найдем угол $\angle BAC$:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная угол при вершине, найдем углы при основании:

$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$

Поскольку $\angle ABC = \angle ACB$, получаем:

$2 \cdot \angle ABC + 51^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$

$\angle ABC = \frac{129^\circ}{2} = 64.5^\circ$

Следовательно, $\angle ACB = 64.5^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $51^\circ$, $64.5^\circ$, $64.5^\circ$.

Случай 2: Вершина A расположена на меньшей дуге, стягиваемой хордой BC.

В этом случае угол $\angle BAC$ опирается на большую дугу $BC$. Градусная мера полной окружности — $360^\circ$. Градусная мера большей дуги $BC$ составляет:

$360^\circ - 102^\circ = 258^\circ$.

Найдем угол $\angle BAC$:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 258^\circ = 129^\circ$.

Найдем углы при основании из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$

Так как $\angle ABC = \angle ACB$:

$2 \cdot \angle ABC + 129^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ$

$\angle ABC = \frac{51^\circ}{2} = 25.5^\circ$

Следовательно, $\angle ACB = 25.5^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $129^\circ$, $25.5^\circ$, $25.5^\circ$.