Номер 696, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 696, страница 183.

Условие.

696 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который можно вписать окружность. По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = DA$.
Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пито), если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашего параллелограмма это свойство записывается в виде равенства:
$AB + CD = BC + DA$
Теперь подставим в это равенство выражения для сторон из свойства параллелограмма. Заменим сторону $CD$ на $AB$ и сторону $DA$ на $BC$:
$AB + AB = BC + BC$
$2 \cdot AB = 2 \cdot BC$
Разделив обе части этого равенства на 2, получаем:
$AB = BC$
Мы получили, что две смежные стороны параллелограмма ($AB$ и $BC$) равны. Поскольку противоположные стороны параллелограмма также равны, то из этого следует, что все его стороны равны между собой:
$AB = BC = CD = DA$
Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
Ответ: Утверждение доказано.