Номер 700, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 700, страница 183.

Условие.

700 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что в любой ромб можно вписать окружность, достаточно доказать существование точки внутри ромба, которая равноудалена от всех его сторон. Эта точка будет являться центром вписанной окружности, а расстояние до сторон — её радиусом.

Рассмотрим произвольный ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Используем известные свойства ромба:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. То есть диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ — биссектрисой углов $\angle B$ и $\angle D$.

2. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Рассмотрим точку пересечения диагоналей $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC$, которая является биссектрисой угла $\angle DAB$, то точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AD$.

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $BD$, которая является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $BC$.

Из этих двух утверждений следует, что точка $O$ равноудалена от трех сторон: $AD$, $AB$ и $BC$.

Продолжая рассуждения, так как точка $O$ также лежит на биссектрисах углов $\angle BCD$ и $\angle CDA$, она будет равноудалена и от сторон $BC$, $CD$ и $DA$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех четырех сторон ромба $ABCD$.

Это означает, что можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным этому расстоянию, и эта окружность будет касаться всех четырех сторон ромба. По определению, такая окружность является вписанной в ромб.

Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. В любой ромб можно вписать окружность. Центром этой окружности является точка пересечения диагоналей ромба, так как она равноудалена от всех его сторон.