Номер 711, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 711, страница 184.

Условие.

711 □ Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения описанной окружности вокруг любого треугольника необходимо найти ее центр. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для нахождения этой точки достаточно построить серединные перпендикуляры к двум любым сторонам.

тупоугольный

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$, у которого один из углов больше $90^\circ$ (например, $\angle B > 90^\circ$).
2. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого циркулем из точек $A$ и $B$ проведем дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AB$) так, чтобы они пересеклись с обеих сторон от отрезка. Соединим точки пересечения дуг прямой. Это и будет серединный перпендикуляр.
3. Аналогичным образом построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
4. Найдем точку $O$ — точку пересечения построенных серединных перпендикуляров. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится вне треугольника.
5. Измерим циркулем расстояние от центра $O$ до любой из вершин треугольника (например, $OA$). Это будет радиус описанной окружности.
6. Поставив ножку циркуля в точку $O$, проведем окружность радиусом $OA$. Эта окружность пройдет через все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Построена описанная окружность для тупоугольного треугольника. Ее центр находится вне треугольника.

прямоугольный

1. Начертим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого один из углов равен $90^\circ$ (например, $\angle C = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.
2. Построим серединный перпендикуляр к катету $AC$.
3. Построим серединный перпендикуляр к катету $BC$.
4. Точка пересечения этих перпендикуляров $O$ и будет центром описанной окружности. В прямоугольном треугольнике эта точка всегда лежит на середине гипотенузы. Таким образом, можно было просто найти середину гипотенузы $AB$.
5. Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы ($R = OA = OB = OC$).
6. Поставив ножку циркуля в точку $O$, проведем окружность радиусом $OA$. Она пройдет через вершины $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Построена описанная окружность для прямоугольного треугольника. Ее центр находится на середине гипотенузы.

равносторонний

1. Начертим равносторонний треугольник $ABC$, у которого все стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.
2. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$.
3. Построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
4. Найдем точку пересечения $O$ этих перпендикуляров. В равностороннем (и любом остроугольном) треугольнике центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника. Для равностороннего треугольника эта точка также является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.
5. Измерим циркулем расстояние от центра $O$ до любой из вершин (например, $OA$).
6. Поставив ножку циркуля в точку $O$, проведем окружность радиусом $OA$, которая пройдет через все три вершины.

Ответ: Построена описанная окружность для равностороннего треугольника. Ее центр находится внутри треугольника.