Номер 1, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 1, страница 184.

Условие.

1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для исследования взаимного расположения прямой и окружности введем следующие обозначения: $R$ – радиус окружности, и $d$ – расстояние от центра окружности до прямой (длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на прямую). Взаимное расположение зависит от соотношения между $R$ и $d$. Возможны три случая.

Случай 1: Расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > R$)

Все точки окружности находятся на расстоянии $R$ от ее центра. Поскольку кратчайшее расстояние от центра до прямой, равное $d$, больше, чем радиус $R$, ни одна точка прямой не может совпадать с точкой окружности. Все точки прямой находятся на расстоянии от центра, большем или равном $d$, а значит, и большем, чем $R$. Следовательно, прямая и окружность не имеют общих точек.

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > R$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Случай 2: Расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = R$)

В этом случае основание перпендикуляра, опущенного из центра на прямую, лежит на окружности. Эта точка является единственной общей точкой прямой и окружности. Любая другая точка на прямой будет находиться на расстоянии от центра, большем чем $R$. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой касания.

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = R$), то прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая является касательной к окружности).

Случай 3: Расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < R$)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным в одну из точек пересечения, перпендикуляром, опущенным из центра на прямую, и отрезком прямой, соединяющим точку пересечения с основанием перпендикуляра. Гипотенузой этого треугольника является радиус $R$, а одним из катетов — расстояние $d$. Длина второго катета (половина хорды, высекаемой окружностью на прямой) может быть найдена по теореме Пифагора: $\sqrt{R^2 - d^2}$. Поскольку $d < R$, выражение под корнем положительно, что означает существование двух симметричных относительно перпендикуляра точек пересечения. Такая прямая называется секущей.

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < R$), то прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей).

Полученные выводы

Взаимное расположение прямой и окружности полностью определяется соотношением между радиусом окружности $R$ и расстоянием от ее центра до прямой $d$:
1. Если $d > R$, прямая и окружность не пересекаются (не имеют общих точек).
2. Если $d = R$, прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку).
3. Если $d < R$, прямая и окружность пересекаются (имеют две общие точки).